Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам про числа, с которыми не математики, наверное, никогда не сталкивались. Речь пойдет о гипервещественных числах — расширении знакомого всем поля вещественных чисел, обладающим рядом интересных свойств. Поехали!
Начнём с такого примера: каким образом можно представить любое вещественное число? Очевидно, в общем виде вот так:
Этой записью я хотел показать, что целая часть вещественного является натуральным числом и представима как сумма единиц. Более того, если добавить еще одну единицу, то можно превзойти число 7,34. Отмечу, что в поле вещественных чисел это возможно для любого числа: даже число Грэма можно описать как сумму меньших его чисел, а в некоторый момент превзойти. Такое свойство позволяет нам называть поле вещественных чисел архимедовым.
Но есть ли число А, что даже взяв невероятно огромную, но конечную сумму 1+1+1…+1 мы никогда не сможем превзойти А ?
Есть. Именно с именно такими гипервещественными числами работает, сформировавшийся при их изучении нестандартный (инфинитезимальный) анализ.
Главное отличие
гипервещественных чисел в том, что среди них существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа, причем существуют не как пределы неких функций или последовательностей (как в стандартном анализе), а как обычные рядовые элементы поля.
Первым, кто стал пользоваться нестандартным анализом, был Лейбниц. Впрочем, он сам этого не подозревал, а скорее ощущал. В своём труде «Новый метод..» он впервые ввёл обозначение dx, как актуальной бесконечно малой величины.
Поле гипервещественных чисел получается расширение поля вещественных такими числами, которые больше любого числа, представимого через сумму 1+1+1…+1 (обратные им, напротив, меньше любого 1/(1+1+1…+1). Как Вы уже поняли, такое поле называется неархимедовым.
Отрицательные и положительные бесконечные числа меньше или больше любого из конечных. Остальные делятся на конечные обычные вещественные и конечные нестандартные. Пример последнего — это 1+ε, где ε — бесконечно малое число.
Для каждого конечного гипервещественного числа можно ввести определение стандартной части и представление в виде:
Придумать, как говориться, можно что угодно, но логика предписывает нам проверять «совместимость с предыдущими версиями» математики. В 1961 Робинсон доказал, что никаких противоречий при добавлении актуальных бесконечно малых и больших величин не происходит. Иначе говоря, гипервещественные числа так или иначе сводятся к вещественным и имеют похожие свойства.
Уникальность доказательства непротиворечивости гипервещественных чисел еще и в том, что стало ясно, почему математики 18 века, оперируя непринятыми в стандартном анализе бесконечностями, все равно получали верные результаты: иначе быть не могло !
В следующей статье я уже рассказал, что такое бесконечно малое эпсилон с простыми формулами и рисунками. Спасибо за внимание!
